ブレンダー。
普通の日本語でいうミキサーのこと。フローズン・カクテルをつくりたいなら、これがなくては始まりません。
買うのであれば、氷を削れると明言してあるのを選ぶにこしたことはありませんが、氷は削らないでくださいなどと書いてある2000円くらいの安物でも最低限の用は足りますから、自宅の押入れに眠っているのがあるなら堂々と引っ張り出してきてください。
ただし、安物はやっぱり安物という味がしがちですし、こういうものは二つも三つも買うものではありませんから、もしこれから買うのであれば、せめて「かき氷もつくれます」等々のコメントがついているものを選んだ方が幸せになれるでしょう（できれば回転数が複数あるもの、フラッシュ(瞬間回し)があるものを選ぶとよいことになっていますが、これは別になくたってなんとでもなります）。
なお、似たようなものだからと言って、フードプロセッサーや、電動ジューサー、かき氷器、あるいはさらに安い、野菜をみじん切りにできるとか野菜の水を切れるという触れ込みで売られている手回しの道具などは流用されませぬよう。フローズン・カクテルをつくらないのであればハンドミキサーでも役に立つ場面がある「かも」しれませんけれど、少なくともカクテルづくりの世界においては、これらはおすすめできるものではありません。
それから、こちらはあまり市販本では強調されていないのですけれど、フローズン・カクテルをつくるのであればアイスクラッシャーも欲しいですね。かき氷器の親戚のようなものですが、こちらは氷を削るのではなく、氷を細かく砕くのに重宝します。安いものなら1000円くらいからありますので、フローズン・カクテルをつくるつもりがあるなら是非ともひとつ揃えてしまってください。これがあるのとないのとではまるで手間が違いますので。
ただし、繰り返しますが、上記ふたつは――他の活用法がないではないですが――フローズン・カクテルをつくらないなら無用の長物であること、お忘れなきよう。